viernes, 23 de noviembre de 2012

Bitácora 12

La clase del pasado sábado al ver los comentarios en los blogs de mis compañeros pude notar que fue una clase muy interesante, fue una verdadera lastima no haber podido estar presente en ella por cuestiones personales, pero retomando los comentarios me di a  la tarea de investigar al respecto. Comencemos con la Banda de Möbius
La Banda de Möbius es una superficie que, por sus propiedades, ha sido y es utilizada en campos como la Matemática, el Arte, la Ingeniería, la Magia, la Ciencia, la Arquitectura, la Música, el Diseño, la Literatura, etc.   Representa la naturaleza cíclica de varios procesos, la eternidad, el infinito, en la actualidad es tan difundida en la representación del reciclado. Fue descubierta de manera independiente en 1858 por los matemáticos August Ferdinand Möbius y por el considerado fundador de la Topología Johann Benedict Listing.
La topología se presenta como la “ Geometría de la página de goma (chicle)”, esto hace referencia a que en la Geometría euclídea: dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumen y otras.
La Banda de Möbius es fácil del construir, se toma una tira larga de papel, se gira en media vuelta y se unen sus extremos con cinta adhesiva.
http://revistareplicante.com/wp-content/uploads/2011/05/Cinta-de-Moebius.jpg
Por ultimo hablaremos del  Flexágono
Flexágono, flexagon en inglés, es la palabra que define un intrigante artilugio de papel. Su característica principal es que al doblarlos de una determinada forma permiten ver nuevas caras que en principio estaban ocultas. Este hecho es realmente muy curioso y te obliga a jugar mucho con uno de ellos para entender cómo funciona.
Además de ser un entretenido pasatiempo, son objeto de estudio dentro del campo matemático de la topología.
Fueron descubiertos en 1939 por Arthur Stone, un estudiante inglés de la Universidad de Princeton, que se los mostró a sus compañeros el matemático Bryant Tuckerman, el físico Richard P. Feynman y el estadístico John W. Tuckey y juntos constituyeron el Princeton Flexagon Committee (Comité de Flexágonos de Princeton). Más tarde, ya en la década de los 50 fue el gran Martin Gardner el que los popularizó.
Hay flexágonos de muchos tipos. Normalmente son cuadrados (tetraflexágonos) o hexagonales (hexaflexágonos) y varía el número de caras que pueden mostrar, aunque el flexágono por excelencia, el que montó por primera vez Arthur Stone  es el trihexaflexágono

http://farm1.static.flickr.com/229/513940585_cd4647bb6f.jpg
Referencias:

miércoles, 12 de septiembre de 2012

Bitácora # 5 Caleidociclo


       
Esta sesión fue realmente interesante no sabía que al unir varios tetraedros se podía formar un polígono flexible llamado caleidociclo. Los caleidociclos son formas geométricas generalmente de papel; bellas que giran, el término aparece por vez primera en el libro de Scahttschneider y Wallace (1977), y se deriva de los vocablos griegos: cali; belleza, eidos; forma y ciclo; anillo, que significan girar o volver al punto de origen. Los hay de diversos tipos por ejemplo los planos y los tridimensionales.
Al iniciar los trazos las medidas de los lados del polígono no resultaban, después de varios intentos fue gratificante poder hacer la figura y empezar a realizar los doblajes para que finalmente existiera, me sorprendí al observar que no era la primera vez que veía esa figura, ya que la había visto hace unos meses anteriores, la tuve en mis manos y pude manipularla sin saber en ese instante cuál era su nombre, desde la primera vez que lo observe me impresiono su forma y flexibilidad; intente varias veces recrearla de manera fallida ya que no encontré manera alguna de realizarla así que me di por vencida en ese momento, pero este fin de semana que sin buscar encontré la manera de realizarla simplemente me fascino, fue una grata experiencia poder llevar a cabo este caleidociclo, claro fue necesario hacer un par de ajustes para que tuviera flexibilidad.
Realizar los puntos y rectas notables de un triángulo fue agotador ya que no manejo bien el programa de geogebra por lo tanto cuesta realizar las cosas, como siempre no puede faltar el amigo (a) que te vaya sacando de dudas cuando lo necesitas, gracias a eso puede terminar esa tarea, sin dejar fuera la de las fórmulas para obtener el área de las figuras geométricas; el trabajo individual no es fácil sin embargo te hace ser autodidacta, independiente y responsable de la organización para poder realizar las actividades correspondientes.
  Referencias:
 

jueves, 6 de septiembre de 2012

BITÁCORA # 4


BITÁCORA # 4

Trabajar de manera individual no es nada fácil, ya que puede llegar a  ser un trabajo agotador si no sabes cómo organizar el tiempo estipulado para cada actividad a desarrollar; eso es algo que me ha estado fallando muy notoriamente estos últimos días, ya que tengo una gran desorganización en mi cabeza, la cual ha estado provocando fallas en el desempeño estudiantil, después de una mala racha, esta fue una semana  de trabajo intensa, encontrar formas matemáticas en nuestra vida cotidiana es tan común, solo que la mayoría del tiempo andamos tan distraídos que no ponemos atención a todo aquello que está  a nuestro alrededor; después de la última clase de Geometría la cual por cierto fue muy interesante, al tener que realizar ese cuadrado de 13 × 13 y después convertirlo a un rectángulo de 21 × 8; en el cual su área perdió un centímetro, me hizo recordar cuando iba a la preparatoria; ya que nos estaba pasando lo mismo que a aquellos que estaban en contabilidad y cuando les faltaba un centavo debían retroceder en el procedimiento para identificar donde habían dejado su centavo, localizar ese centímetro extraviado fue algo que llevo tiempo. Note que en el cuadrado inicial no hay ni un ángulo recto, mientras que en la segunda figura que fue el rectángulo había dos ángulos rectos dentro de mi cuadrilátero; por lo tanto llegue a la conclusión de que, ese centímetro se pierde en la apertura que tienen  los ángulos y que, es eso lo que hace que el área de la figura se modifique, no sé si esta respuesta sea correcta pero es la única conclusión  a la que llegue después de tanta  divagación.

Respecto a las disecciones realice un trabajo doble ya que no tome en cuenta las instrucciones ni medidas que estaban en el documento por lo tanto tuve que realizar trabajo doble, pero  esta vez con las medidas correspondientes. La fotografía matemática no pude tomarla ya que el clima no me lo permitió, estuvo nublado y la sombra de los objetos no se reflejaba, aun así no me daré por vencida espero poder tomarla es estos días.

miércoles, 5 de septiembre de 2012

SÓLIDOS PLATÓNICOS


SÓLIDOS PLATÓNICOS

Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras; se llaman así en honor al filósofo griego Platón, a quien se le atribuyen haberlos estudiado en primera instancia. Así mismo se les conoce como cuerpos platónicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón, o con más precisión, poliedros regulares convexos.

Existen solamente cinco:
Tetraedro regular (4 vértices, 6 aristas, 4 triángulos equiláteros como caras)
  • Hexaedro regular o cubo (8 vértices, 12 aristas, 6 cuadrados como caras)
  • Octaedro regular (6 vértices, 12 aristas, 8 triángulos equiláteros como caras)
  • Dodecaedro regular (20 vértices, 30 aristas, 12 pentágonos como caras)
  • Icosaedro regular (12 vértices, 30 aristas, 20 triángulos equiláteros como caras

Sólo son cinco los sólidos platónicos, por las siguientes razones:

Ø  Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido.

Ø  La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.

Ø  Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomado en cuenta lo señalado en los dos puntos anteriores, en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos.

Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de un hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aún mayores.

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIH es un icosaedro regular.

 

REFERENCIAS:



 

jueves, 23 de agosto de 2012

LOS PRIMEROS GEÓMETRAS


PRIMEROS GEÓMETRAS
La geometría es una de las más antiguas ciencias, inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Herodoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunos algoritmos expresados en forma de "receta" para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales un rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc. que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
Euclides en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en su obra “Los Elementos”, sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, ellos y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría, inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado “El Discurso del Método”, publicado en 1637, hizo época.  Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobatchevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea.  Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones.   Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal. 
REFERENCIAS